Pflichtaufgaben
(Vektoren fett und kursiv; 
: Winkel)
| 1. | Gegeben ist die Ellipse mit den Scheitelpunkten A1 (5; 0), A2 (-5; 0), B1 (0; 5/2) und B2 (0; -5/2) |
| a) | Geben Sie die Gleichung diese Ellipse an! Konstruieren Sie mindestens 12 Punkte dieser Ellipse, und zeichnen Sie die Ellipse! |
| b) | Im Punkt P0 (3; 2) dieser Ellipse sei die Tangente t an die Ellipse gelegt. Stellen Sie die Gleichung dieser Tangente auf! |
| c) | Ermitteln Sie die Gleichung der Geraden g, die durch P0 geht und senkrecht auf der Tangente t steht! Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes Q der Geraden g mit der x-Achse! |
| 2. | Bei einer Übung der NVA soll vom Stab einer Einheit im Punkt S (0; 0; 1) eine Verbindung zum Raketenstützpunkt P (10; 50; 0) durch Richtfunk hergestellt werden. (Koordinateneinheit: 1 km) |
| a) | Berechnen Sie die Entfernung SP vom Stab der Einheit zum Raketenstützpunkt! |
| b) | Im Punkt R1 (0; 10; 1) wird eine Richtfunkstation eingerichtet. Berechnen Sie den Winkel α zwischen den Vektoren R1S und R1P! |
| c) | Zur Verbesserung der Empfangsqualität wird im Punkt R2 (5; 30; 0,5) eine Richtfunkstation zwischengeschaltet. Stellen Sie eine Gleichung der Geraden g auf, die durch die Punkte R1 und R2 geht! Weisen Sie nach, dass der Punkt P auf der Geraden g liegt! |
| 3. | Eine Zahlenfolge (an) ist gegeben durch: an = 1 / (2n - 1) (n > 0). |
| a) | Geben Sie die Glieder a1, a2 und a3 dieser Folge an! Berechnen Sie die Glieder s1, s2 und s3 der zugehörigen Partialsummenfolge (sn)! |
| b) | Für das n-te Glied der Partialsummenfolge (sn) gilt: sn = 2 - (1/ (2n - 1)) Beweisen Sie diese Behauptung durch vollständige Induktion! |
| c) | Geben Sie den Grenzwert g der Partialsummenfolge (sn) an! |
| 4. | Gegeben ist eine Funktion f durch: y = f(x) = x/2 + 2/ x; (x ∈ R; x ≠ 0). |
| a) | Berechnen Sie die Koordinaten der Extrempunkte des Bildes der Funktion f, und untersuchen Sie die Art der Extrema! |
| b) | Weisen Sie nach, dass die Funktion f keine Nullstellen hat! |
| c) | Berechnen Sie f(1) und f(4), und skizzieren Sie das Bild der Funktion f im Intervall 1 ≤ x ≤ 4! |
| d) | Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Bild der Funktion f, der x-Achse und den Geraden x = 1 und x = 4 vollständig begrenzt wird! |
| 5. | Kurzaufgaben: |
| a) | Berechnen Sie das Skalarprodukt (a + b) * (a - b) für a = i + i und b = j-k! |
| b) | Ermitteln Sie ∫√(3x - 6) dx (x ∈ R; x ≥ 2)! |
| c) | Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion y = f(x) = ex sin 2x (x ∈ R)! Berechnen Sie f'(0) |
Wahlaufgaben
(Von den folgenden Aufgaben brauchen Sie nur eine Aufgabe zu lösen.)
| 6. | Ein Kondensator wird über einen Widerstand entladen. Die Maßzahl U der Kondensatorspannung lässt sich als Funktion der Maßzahl t der Zeit beschreiben durch U = f(t) = U0 * e-0,5t (t ∈ R; t ≥ 0). Dabei sind die Spannung in Volt und die Zeit in Sekunden gemessen.) U0 ist die Maßzahl der Spannung für t = 0. Es sei U0 = 800. |
| a) | Berechnen Sie U2 = f(2) und U4 = f(4)! |
| b) | Skizzieren Sie das Bild der Funktion f im Intervall 0 ≤ t ≤ 4! |
| c) | Nach welcher Zeit beträgt die Spannung des Kondensators 20 Volt? |
| d) | Für den Mittelwert UM der Maßzahl der Spannung im Intervall t1 ≤ t ≤ t2 gilt: Berechnen Sie UM für das Intervall 0 ≤ t ≤ 4! |
| 7. |  Die Skizze zeigt ein gerades Prisma mit der quadratischen Grundfläche OBCD in einem Koordinatensystem {O; i, j, k}. Es gilt: OB = a Längeneinheiten, OE = 2a Längeneinheiten. M sei der Mittelpunkt der Kante OE, N der Mittelpunkt der Kante BC. Skizze (nicht maßstäblich). |
| a) | Geben Sie die Koordinaten der Punkte M und N an! |
| b) | Auf der Kante DH liegt ein Punkt P derart, dass MP ⊥ MN gilt. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P |
| c) | Berechnen Sie a für den Fall, dass das rechtwinklige Dreieck MNP den Flächeninhalt A = 6√5 Flächeneinheiten hat! |
| 8. |  Ein oben offener zylindrischer Behälter hat als Boden eine nach innen gewölbte Halbkugel (siehe Skizze!).Der Behälter hat den Oberflächeninhalt A (A konstant). (Die Oberfläche besteht aus Zylindermantel und Oberfläche der Halbkugel.) Berechnen Sie den Radius r der Halbkugel in Abhängigkeit von A für den Fall, dass das Fassungsvermögen des Behälters maximal wird! (Die Wandstärke bleibt unberücksichtigt.) Skizze nicht maßstäblich. |