Pflichtaufgaben
(Vektoren fett und kursiv; 
: Winkel)
| 1. | Gegeben sind die Funktionen f und g durch y = f(x) = 1/4 x2 und y = g(x) = -1/10 x3 + 3/4 x2. |
| a) | Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von g! Untersuchen Sie die Art der Extrema! |
| b) | Berechnen sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von f und g! Skizzieren Sie die Graphen im Intervall -1 ≤ x ≤ 6! |
| c) | Die Graphen von f und g begrenzen eine Punktmenge vollständig. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Punktmenge! |
| 2. | In einem Koordinatensystem {0; i, j, k} sind zwei Geraden g1 und g2 gegeben. g1 geht durch den Punkt P0 (4; 16; -2) und hat den Richtungsvektor (-3, 3, 1). g2 geht durch die Punkte P1 (1; 3; 5) und P2 (4; 6; 2). |
| a) | Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes und den Schnittwinkel der Geraden g1 und g2! |
| b) | Eine zur Gerade g2 parallele Gerade g3 habe den Richtungsvektor (ax, ay, 1). Ermitteln Sie ax und ay! |
| c) | Es seien (bx, by, 1) Richtungsvektoren von Geraden, die zur Geraden g2 orthogonal sind. Weisen Sie nach, dass für jeden dieser Richtungsvektoren gilt: bx + by = 1! |
| 3.a) | Durch die Tabelle ist eine monoton wachsende geometrische Folge (an) gegeben.
Berechnen Sie die Glieder a2 und a4 der Folge (an)! |
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| b) | Es gibt eine Funktion f mit y = f (x) = c * ekx (x > 0; c ∈ R; k ∈ R; R: Menge der reellen Zahlen), für die f (1) = 6,4 und f (3) = 8,1 gilt. Ermitteln sie f (2) und f (4)! |
| 4. |  Für drei Betriebe, deren Lage durch die Punkte A, B und C gegeben ist, sollim Punkt P eine gemeinsame Abwasseraufbereitungsanlage gebaut werden (siehe Skizze!). Skizze nicht maßstäblich, Maßangeben in km |
| a) | Geben Sie die Gesamtlänge s = AP + BP + CP der Anschlussleitungen an, wenn die Anlage im Punkt D bzw. wenn die Anlage im Punkt C errichtet würde! |
| b) | Berechnen Sie x für den Fall, das die Gesamtlänge s minimal wird! (Auf den Nachweis des Extremums wird bei dieser Aufgabe verzichtet.) Berechnen Sie für diesen Fall die Gesamtlänge der Rohrleitung! |
| 5.a) | Zu einem Schulsportfest soll eine Klasse für eine 4 x 100 m-Staffel entweder eine Jungen- oder eine Mädchenstaffel stellen. Es kommen 7 Jungen bzw. 6 Mädchen in Frage. Ermitteln Sie die theoretisch mögliche Gesamtzahl von Staffelaufstellungen, aus denen die zu meldende Staffel ausgewählt werden kann für folgende Fälle!
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| b) | Es sei (an) = (c/n!) eine Folge mit c ∈ R; n ∈ N, n > 0. Man ermittle c für den Fall, dass gilt: an + 1 = an + 2n/(n + 1)! |
Wahlaufgaben
(Von den folgenden Aufgaben brauchen Sie nur eine Aufgabe zu lösen.)
| 6 |  Die Punkte O, A, B, C seien Eckpunkte einer Pyramide; R, S, T, U seien die Mittelpunkte der Kanten OA, AB, BC, OC (siehe Skizze!). |
| a) | In einem kartesischen Koordinatensystem {0; i, j, k} sind O, A, B, C gegeben durch O (0; 0; 0), A (6; 0; 0), b (8; 12; 0) und C (4; 4; 10). Weisen Sie nach, dass für diese Spezielle Pyramide das Viereck RSTU ein Parallelogramm ist! |
| b) | Die Pyramide OABC sei ein Tetraeder, d. h. alle Kanten haben die gleiche Länge. Geben Sie die Vektoren RS, UT, RU; ST in Abhängigkeit von a=OA, b=OB und c=OC an! Beweisen Sie, dass für jedes Tetraeder das Viereck RSTU ein Quadrat ist! |
| 6.2. | Gegeben ist die Funktion f durch y = f (x) = sin x/3 (x ∈ R). |
| a) | Geben Sie die kleinste Periode der Funktion f an! Skizzieren Sie den Graph von f im Intervall -2π ≤ x ≤ 3π! |
| b) | Weisen Sie nach, dass es keine Tangente an den Graph von f gibt, die orthogonal zur Tangente im Punkt O (0; 0) an den Graph von f ist! |
| c) | Gegeben sind die Funktionen g durch y = g (x) = sin ax (x ∈ R; a ∈ R; a ≠ 0). Bilden Sie die erste, die dritte und die fünfte Abteilung der Funktion g! Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n (n ≥ 0) gilt: g[2n + 1] (x) = (-1)n * a2n + 1 * cos ax! |
| 6.3. | Gegeben ist die Funktion f durch y = f (x) = - 6/x * (1 - In 3x) (0,5 ≤ x ≤ 10). |
| a) | Berechnen Sie die Nullstelle der Funktion! Der Graph von ff hat genau einen lokalen Maximumpunkt. Berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes! Skizzieren Sie den Graph von f! |
| b) | Zeigen Sie, dass F(x) = -3(2 - In 3x) * In 3x eine Stammfunktion von f ist! Der Graph von f, die x-Achse und eine Gerade x=c (c > 1) begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A vollständig. Berechnen Sie c für den Fall, dass A = 3 gilt! |
| c) | Gegeben sind Funktionen g durch y = g (x) = - 6/x * (1 - In ax) (x ∈ R, x > 0; a ∈ R, a > 0). Der Graph einer dieser Funktionen hat an der Stelle x = 2 den Anstieg 1. Berechnen Sie a für diesen Fall! |