Mathematik-Abitur (Schuljahr 1988/89 - DDR)

Pflichtaufgaben

(Vektoren fett und kursiv; : Winkel)

1.	Gegeben ist das Dreieck ABC mit A (1; 5), B (3; -3), C (5; 1).
a)	Zeichnen Sie das Dreieck ABC !
b)	Stellen Sie eine Gleichung der Geraden g1 auf, die durch A geht und die Seite BC halbiert !
c)	Stellen Sie eine Gleichung für die Mittelsenkrechte g2 der Seite AB auf !
d)	Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der Geraden g1 und g2 !
e)	Berechnen Sie den Schnittwinkel φ der Geraden g1 und g2 !

 

2:	Gegeben sind die ersten Glieder a1 = 4,9; a2 = 14,7; a3 = 24,5 der arithmetischen Zahlenfolge (an).
a)	Berechnen Sie a4 ! Geben Sie eine explizite Zuordnungsvorschrift dieser Folge an !
b)	Berechnen Sie die Glieder s1, s2 und s3 der zu (an) gehörenden Partialsummenfolge (sn) !
c)	Weisen Sie durch vollständige Induktion nach, dass für alle n (n ≥ 1) gilt: sn = 4,9 n2 !

 

3.	Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = e 0,5x         (0 ≤ x ≤ 4).
a)	Zeichnen Sie den Graph der Funktion f !
b)	Der Graph der Funktion f, die Koordinatenachsen und die Gerade x = 4 begrenzen eine Fläche vollständig. Es gibt genau eine Gerade x = c (mit 0 < c < 4), die diese Fläche in zwei inhaltsgleiche Teilflächen zerlegt. Berechnen Sie c ! Tragen Sie diese Gerade x = c in Ihre Zeichnung ein !

 

4.	Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = -1 + 2 sin x/2 .
a)	Geben Sie die kleinste Periode p und den Wertebereich der Funktion f an ! Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f im Intervall 0 ≤ x ≤ 4π! Skizzieren Sie den Graph der Funktion f mindestens im Intervall 0 ≤ x ≤ 4π !
b)	Ermitteln Sie eine Gleichung für die Tangente an den Graph der Funktion f im Punkt Po (2π; f(2π)) !

 

5.
a)	Geben Sie die Menge aller reellen Zahlen x an, für die der Term  √(In x) definiert ist !
b)	Gegeben seien die Geraden g1 und g2 durch g1:   x + ay = 1         (a ≠ 0) g2: 2x + 3y = 4 . Berechnen Sie a für den Fall, dass g1 und g2 zueinander parallel sind ! Berechnen Sie a für den Fall, dass g1 und g2 zueinander orthogonal sind !
c)	Fünfstellige Kennzeichen sollen folgendermaßen gebildet werden: Die ersten beiden Stellen werden durch 2 voneinander verschiedene Buchstaben und die letzten drei Stellen durch 3 voneinander verschiedene Ziffern belegt. Wie viele voneinander verschiedene Kennzeichen kann man bilden, wenn die 26 Buchstaben des Alphabetes und die Ziffern 0; 1; 2; ...; 9 für die Belegung der Stellen zugrunde gelegt werden ?

 Wahlaufgaben

(Von den folgenden Aufgaben brauchen Sie nur eine Aufgabe zu lösen.)

6.	Die Skizze stellt eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche OABC und der Spitze S dar. Die Kante AB hat die Länge 12 Längeneinheiten, die Höhe FS die Länge 18 Längeneinheiten. Auf FS liegt ein Punkt P mit FP = z Längeneinheiten. (Skizze nicht maßstäblich)
a)	Geben Sie die Koordinaten der Punkte F und S an ! Ermitteln Sie die Längen der Strecken OP und SP in Abhängigkeit von z !
b)	Auf FS existiert ein Punkt P1, der von allen fünf Eckpunkten der Pyramide gleich weit entfernt ist. Berechnen Sie die Koordinate z1 des Punktes P1 !
c)	Auf FS existiert ein Punkt P2, für den gilt: Die Summe der Abstände des Punktes P2 von den fünf Eckpunkten der Pyramide ist minimal. Berechnen Sie die Koordinate z2 des Punktes P2 !

 

7.	Ein Motorschiff und ein Hubschrauber bewegen sich geradlinig gleichförmig. Um 0:00 Uhr befinden sich das Motorschiff im Punkt S0 (1; 1; 0) und der Hubschrauber im Punkt H0 (19; 5; 0,5), und um 0:10 Uhr befinden sich das Motorschiff im Punkt S10 (3; 2; 0), der Hubschrauber im Punkt H10 (14; 5; 0,5). (Koordinateneinheit: 1 km)
a)	Stellen Sie je eine Parametergleichung für die Bahn des Motorschiffes und die Bahn des Hubschraubers auf !
b)	Berechnen Sie die Entfernung, die Motorschiff und Hubschrauber um 0:10 Uhr voneinander haben !
c)	Um 0:30 Uhr haben das Motorschiff den Punkt S30 und der Hubschrauber den Punkt H30 erreicht. Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte S30 und H30 ! Berechnen Sie den Abstand dieser beiden Punkte !
d)	Ermitteln Sie die Uhrzeit für den Fall, dass die Entfernung zwischen Motorschiff und Hubschrauber minimal ist ! (Auf den Nachweis des Extremums wird bei dieser Aufgabe verzichtet.)

 

8.	Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = √(6 x) + √(16 - 2x)       (0 ≤ x ≤ 8)
a)	Weisen Sie nach, dass die Funktion f keine Nullstelle hat !
b)	Berechnen Sie die Koordinaten des lokalen Extrempunktes des Graphen von f ! (Auf Nachweis des Extremums von f wird verzichtet.) Skizzieren Sie den Graph der Funktion f !
c)	Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von dem Graph der Funktion f, den Koordinatenachsen und der Geraden x = 8 vollständig begrenzt wird !
d)	Es sind A (0; f(0)) und B (8; f(8)) zwei Punkte des Graphen von f. P sei ein Punkt auf der x-Achse. Berechnen Sie die Abszisse des Punktes P für den Fall, dass das Skalarprodukt der Vektoren PA und PB minimal ist !