Pflichtaufgaben
(Vektoren fett und kursiv; 
: Winkel)
| 1. | Die Gerade g1 verläuft durch die Punkte A (5;2;0) und B (6;2;-5), die Gerade g2 geht durch den Punkt (2;-6;11) und hat die Richtung des Vektors a = i + 4j - 3k . |
| a) | Stellen Sie je eine Parametergleichung für die Geraden g1 und g2 auf ! |
| b) | Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S und den Schnittwinkel φ der Geraden g1 und g2 ! |
| c) | Überprüfen Sie, ob der Punkt C (5; 6; 2) auf der Geraden g2 liegt ! |
| 2: | Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = √(2x + 3) - x (x ∈ R; x ≥ -1,5). |
| a) | Berechnen Sie die Nullstelle der Funktion f! |
| b) | Ermitteln Sie die Koordinaten des lokalen Extrempunktes des Graphen von f ! Weisen Sie die Art des Extremums nach ! |
| c) | Skizzieren Sie den Graph der Funktion f im Intervall -1,5 ≤ x ≤ 4 ! |
| d) | Der Graph der Funktion f und die Koordinatenachse begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche ! |
| 3. | Gegeben sind die Funktionen f und g durch y = f(x) = 2 + cos x (x ∈ R; 0 ≤ x ≤ π) und y = g(x) = sin2x (x ∈ R; 0 ≤ x ≤ π) |
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| a) |
Ergänzen Sie für die Funktion g die folgende Werttabelle !
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| b) | Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen f und g in ein und demselben Koordinatensystem ! | ||||||||||||||||
| c) | Für jede Parallele zur y-Achse, die die Graphen der Funktionen f und g in einem Punkt schneidet, stellt h (x) = f (x) - g (x) den Abstand der beiden Punkte dar. Berechnen Sie die Abszisse xE für den Fall, dass dieser Abstand minimal wird ! Berechnen Sie den minimalen Abstand ! |
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| d) | Zeigen Sie, dass die Tangente im Punkt P ( 2/3 pi; f (2/3 pi)) an den Graph der Funktion f und die Tangente im Punkt Q (2/3π; g (2/3π)) an den Graph der Funktion g zueinander parallel sind ! |
| 4. | Fünf Bauelemente haben die elektrischen Widerstände R1, R2, R3, R4 und R5. Ihre Zahlenwerte bilden eine geometrische Folge. Es sei R1 = 10 Ohm und R5 = 160 Ohm. |
| a) | Berechnen Sie den Quotienten q dieser geometrischen Folge ! |
| b) | Berechnen Sie den elektrischen Widerstand R für den Fall, dass die 5 Widerstände in Reihe geschaltet sind ! |
| c) | Schaltet man zwei verschiedene dieser 5 Widerstände in Reihe, so erhält man jeweils einen anderen elektrischen Widerstand. Wie viele verschiedene elektrische Widerstände lassen sich auf diese Weise herstellen ? |
| d) | Auch bei Reihenschaltung von je 3 oder je 4 verschiedenen dieser 5 Widerstände erhält man jeweils einen anderen elektrischen Widerstand. Wie viele verschiedene elektrische Widerstände lassen sich dann insgesamt erzeugen, wenn man alle möglichen Schaltungen von 2 und von 3 und von 4 verschiedenen Widerständen herstellt ? |
| 5. | Kurzaufgaben |
| a) | Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = x * In x (x ∈ R; x > 0). Berechnen Sie f'(e)! |
| b) | Gegeben ist ein Parallelogramm ABCD durch A(2;1), AB = 5i + 2j und BC = i + 4j . Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D und die Läge der Diagonalen BD ! |
| c) | Geben Sie die Menge aller reellen Zahlen x an, für die der Term 1/√(3x - 6) nicht definiert ist ! |
Wahlaufgaben
(Von den folgenden Aufgaben brauchen Sie nur eine Aufgabe zu lösen.)
| 6. | Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = 1/(1 - ax) (x ∈ R; x ≠ 3/a ; a ∈ R; a > 0 ). |
| a) | Weisen Sie nach, dass diese Funktionen keine lokalen Extrema haben ! |
| b) | Für a = 0,5 erhält man die Funktion f1 mit y = f1(x) = 1/(3 - 0,5x) (x ∈ R; x ≠ 6) . Skizzieren Sie den Graph von f1 im Intervall 0 ≤ x ≤ 5 ! Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graph dieser Funktion, den Koordinatenachsen und der Geraden x = 4 vollständig begrenzt wird ! |
| c) | Bilden Sie f''(x) und f'''(x) für y = f(x) = 1/(3 - ax) ! Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für die n-te Ableitung der Funktion f f(n)(x) = (n! an) / ((3 - ax)n+1) gilt ! |
| d) | Die Graphen aller Funktionen y = f(x) = 1/(3 - ax) schneiden die y-Achse in Po (0; 1/3) . Die Tangente in P0 an genau einen dieser Graphen steht senkrecht auf der Geraden y = -6x + 1 . Berechnen Sie für diesen Fall den Wert des Parameters a ! |
| 7. | Für einen geladenen Kondensator lässt sich der Zahlenwert I der Entladestromstärke als Funktion des Zahlenwertes t der Zeit beschreiben durch I = f(t) = I0 * e-0,4t (t ∈ R; t ≥ 0) . (Dabei sind die Stromstärke in Milliampere und die Zeit in Sekunden gemessen) I0 ist der Zahlenwert der Entladestromstärke für t = 0. Es sei I0 = 2,4. |
| a) | Berechnen Sie f(0), f(2) und f(4) ! Skizzieren Sie den Graph von f im Intervall 0 ≤ t ≤ 4 ! |
| b) | Berechnen Sie, nach welcher Zeit die Stromstärke 1,8 mA beträgt ! |
| c) | Der Zahlenwert Q der vom Kondensator im Intervall [t1; t2] abgegebenen Ladung (gemessen in Milliamperesekunden) wird durch  ermittelt.Berechnen Sie die Ladung, die der Kondensator in den ersten 3,5 Sekunden des Entladungsvorganges abgibt ! |
| d) | Für t1 = 0 habe der Kondensator eine Ladung, deren Zahlenwert Q = 6,0 beträgt. Berechnen Sie t2 für den Fall, dass der Kondensator 60 % dieser Ladung abgegeben hat ! |
| 8. |
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| a) | Berechnen Sie die Entfernung, die die beiden Massepunkte nach 30 Sekunden voneinander haben ! |
| b) | Nach t Sekunden sind die beiden Massepunkte s Meter voneinander entfernt. Geben Sie für diesen Fall s als Funktion von t an ! |
| c) | Nach welcher Zeit ist die Entfernung der beiden Massepunkte voneinander minimal ? Berechnen Sie diese minimale Entfernung ! |
| d) |
Mit welcher konstanten Geschwindigkeit müsste sich der Massepunkt M unter sonst gleichen Bedingungen bewegen, wenn die Entfernung der beiden Massepunkte voneinander bereits nach 40 Sekunden minimal sein soll ? |
Ein Massepunkt M bewegt sich auf einer Geraden gM mit der konstanten Geschwindigkeit 2,0 m * s-1 und durchläuft zum Zeitpunkt to = 0 den Punkt Mo (siehe Skizze!).