Pflichtaufgaben
(Vektoren fett und kursiv; 
: Winkel)
| 1. | Gegeben sei die Funktion f durch y = f(x) = 1/9 x3 - 2 x2 + 9 x (x ∈ R) |
| a) | Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von f ! Untersuchen Sie die Art der Extrema ! |
| b) | Auf dem Graph von f gibt es genau einen Punkt A (xA; f(xA)) mit f'' (xA) = 0. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes A ! |
| c) | Skizzieren Sie den Graph von f im Intervall 0 ≤ x ≤ 10 ! |
| d) | Der Graph von f und die x-Achse begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche ! |
| 2: | Bei einer Übung der Raketentruppe der NVA wird ein auf geradliniger Bahn g1 mit konstanter Geschwindigkeit fliegendes Objekt im Punkt P(-6; 9; 7) und 20 Sekunden später im Punkt Q (2; 1; 11) geortet. Im Punkt A (3,5; -8; 0,5) wird eine Abwehrrakete in Richtung des Vektors a = i + 2j +5k gestartet. Die Bahn g2 dieser Rakete sei geradlinig. (Koordinateneinheit : 1 km) |
| a) | Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der Geraden g1 und g2 ! |
| b) | Berechnen Sie den Schnittwinkel der Geraden g1 und g2 ! |
| c) | Berechnen Sie die Geschwindigkeit des georteten Objektes ! |
| d) | Die Abwehrrakete trifft das Objekt im Punkt S: Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit der Rakete, wenn ihr Start in A zwei Sekunden nach der Ortung des Objektes in Q erfolgte ! |
| 3. | Es soll ein quaderförmiger Behälter mit einem Volumen von 6 m3 gebaut werden, bei dem die Länge dreimal so groß ist wie die Breite. Alle 12 Kanten des Behälters sollen durch Winkeleisen verstärkt werden. Der geringste Materialverbrauch an Winkeleisen ergibt sich, wenn die Summe der Längen aller Kanten minimal wird. Berechnen Sie für diesen Fall Länge, Breite und Höhe des Behälters ! |
| 4. | Bei Laboruntersuchungen werden häufig wässrige Lösungen fester Substanzen benötigt. Die in der Zeit t gelöste Masse wird durch die Gleichung m = m0 (1 - e-at) beschrieben. Hierbei sind m0 die unter bestimmten Normbedingungen in Lösung gehende maximale Masse, Sättigungsmasse genannt, und a eine vom Stoff abhängige Konstante. |
| a) | Für einen Versuch, für den a1 = 0,20 min-1 gilt, wird festgestellt, dass 20 g der Substanz in der ersten Minute in Lösung gegangen sind. Berechnen Sie für diesen Fall die Sättigungsmasse m0 ! |
| b) | Für die andere Substanz gilt m0 = 200 g und a2 = 0,17 min-1 . Nach welcher Zeit sind 120 g dieser Substanz in Lösung gegangen ? |
| c) | Bei einer weiteren Substanz ist nach 5,0 Minuten die Hälfte der entsprechenden Sättigungsmasse m0 in Lösung gegangen. Berechnen Sie für diesen Fall die Konstante a3 ! |
| 5. | |
| a) | Gegeben sind die Vektoren a = (1 -2 c) und b = (-c 1 c) Berechnen Sie die Werte c für den Fall, dass a und b zueinander orthogonal sind ! |
| b) | Weisen Sie nach, dass für die Funktion f mit f(x) = √( x + 1) * cos 2x (x ∈ R; x > -1) gilt: f(0) = 2 * f'(0) ! |
| c) | Wie viele Funktionen y = f(x) = m x + n (x ∈ R) gibt es, bei denen m und n jeweils voneinander verschiedene Primzahlen sind, von denen jede kleiner als 20 ist ? |
Wahlaufgaben
(Von den folgenden Aufgaben brauchen Sie nur eine Aufgabe zu lösen.)
| 6. | Gegeben ist eine Funktion f durch y = f(x) = x (In x - a) (x ∈ R; x > 0; a ∈ R). |
| a) | Berechnen Sie die Nullstelle xN der Funktion f in Abhängigkeit von a ! |
| b) | Berechnen Sie die Koordinaten des lokalen Extrempunktes des Graphen von f in Abhängigkeit von a ! Untersuchen Sie die Art des Extremums ! |
| c) | Zeigen Sie, dass f'(xN) von a unabhängig ist ! |
| d) | Beweisen Sie, dass für die n-te Abteilung der Funktion f mit n ≥ 2 f(n)(x) = (-1)n * (n - 2)! / (xn-1) gilt ! |
| 7. | Gegeben sind die Funktion f und g durch y = f(x) = 1 - 2 cos x (x ∈ R; 0 ≤ x ≤ 2π) y = f(x) = 1 + sin 2x (x ∈ R; 0 ≤ x ≤ 2π) |
| a) | Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f und die Nullstellen der Funktion g ! |
| b) | Die Graphen der Funktionen f und g schneiden einander in den Punkten S1 und S2. Berechnen Sie die Koordinaten von S1 und S2 ! |
| c) | Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen f und g in dasselbe Koordinatensystem ! |
| d) | Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen f und g vollständig begrenzt wird ! |
| e) | Ermitteln Sie die Menge aller positiven reellen Zahlen a, für die die Graphen der Funktion y = h(x) = 1 - a * cos x (x ∈ R; 0 ≤ x ≤ 2π) mit dem Graph der Funktion g mehr als zwei gemeinsame Punkte haben ! |
| 8. | Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = (4 x + 6) / (x + 2)2 |
| a) | Geben Sie Nullstelle und Polstelle der Funktion f an ! Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f im Unendlichen ! |
| b) | Berechnen Sie die Koordinaten des lokalen Extrempunktes des Graphen von f ! Untersuchen Sie die Art des Extremums ! |
| c) | Skizzieren Sie den Graph der Funktion f im Intervall -5 ≤ x ≤ 5 ! |
| d) | Für genau einen Wert von a ist F(x) = a / (x + 2) + 4 In (x + 2) (a ∈ R; x > -2) eine Stammfunktion von f. Ermitteln Sie a ! |
| e) | Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graph der Funktion f und den Koordinatenachsen vollständig begrenzt wird ! |