Pflichtaufgaben
(Vektoren fett und kursiv; 
: Winkel)
| 1. | In einem Koordinatensystem {O; i, j, k} ist das Dreieck ABC mit A (6; -1; 3), B (2; 3; 3) und C (2; -1; 7) gegeben. |
| a) | Berechnen Sie die Längen der Dreieckseiten AB und AC! |
| b) | Ermitteln Sie den Winkel α = BAC! |
| c) | Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks! |
| d) | Die Punkte A, B, P, C sind die Eckpunkte des Parallelogramms ABPC. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P! |
| 2. |  Die Skizze zeigt einen Parabelsichelträger in einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit den Ursprung 0 (Koordinateneinheiten: 1 m). Die beiden den Träger begrenzenden Parabelbögen p1 und p2 schneiden die x-Achsein den Punkten A und B. Skizze (nicht maßstäblich) |
| a) | Der obere Parabelbogen p1 ist Graph der Funktion f mit y = f(x) = 2,50 - ((5/72) * x2) (x ∈ R; xA ≤ x ≤ xB). Berechnen Sie die Spannweite AB! |
| b) | Der untere Parabelbogen p2 ist Graph der Funktion g mit y = g(x) = 1,50 - ax2 (x ∈ R; xA ≤ x ≤ xB). Berechnen Sie die Konstante a! |
| c) | Die Strecke RT liegt parallel zur y-Achse. Berechnen sie die Länge dieser Strecke! |
| d) | In r sei an Parabel p1 die Tangente t gelegt. Berechnen Sie den Anstieg von t! Zu t gibt es eine Parallele, die die Parabel p2 berührt. Der Berührungspunkt sei Q. Berechnen sie die Abszisse des Punktes Q! |
| 3. | Gegeben ist die Partialsummenfolge (sn) der Zahlenfolge (an) durch sn = n / (2 (n + 1)) ; ( n ≥ 1). |
| a) | Geben Sie die Glieder s1, s2 und s3 der Partialsummenfolge (sn) an! |
| b) | Ermitteln Sie den Grenzwert g der Folge (sn)! |
| c) | Für welche natürliche Zahlen n gilt, dass die Glieder der folge (sn) in der ε-Umgebung von g liegen, wenn ε = 10-3 ist? |
| d) | Geben sie die Glieder a1, a2 und a3 der Zahlenfolge (an) an! Ermitteln Sie eine explizite Zuordnungsvorschrift für die Zahlenfolge (an)! |
| 4. | Gegeben sind die Funktion f durch y = f (x) = x + 2 cos x (x ∈ R; ; π/4 ≤ x ≤ 2π) und die Gerade g durch y = g (x) = x + 2. |
| a) | Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von f! Weisen Sie die Art der Extrema nach! |
| b) | Die Gerade g und der Graph von f haben die Punkte S1 und S2 gemeinsam. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte S1 und S2! |
| c) | Skizzieren Sie den Graph von f! Zeichnen Sie die Gerade g ein! |
| d) | Der Graph von f und die Gerade g begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen sie den Inhalt dieser Fläche! |
| 5. | Kurzaufgaben |
| a) | Gegeben ist die Funktion f durch y = f (x) = (In x) / ex (x ∈ R; x > 0). Berechnen Sie f' (1)! |
| b) | Welche Stammfunktion F der Funktion f (x) = e2x hat an der Stelle x0 = 0 den Funktionswert F (x0) = 2? |
| c) | Für welche Zahl n ist die Anzahl der Variationen von n verschiedenen Elementen zur 2. Klasse gleich der Anzahl der Kombinationen dieser n Elemente zur 3. Klasse? |
Wahlaufgaben
(Von den folgenden Aufgaben brauchen Sie nur eine Aufgabe zu lösen.)
| 6. | In einem kartesischen Koordinatensystem ist das Trapez ABCD mit A (0; 0), B (20; 0), C (5; 10) und D (0; 10) gegeben. |
| a) | Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der beiden Diagonalen! Berechnen Sie den Schnittwinkel der Diagonalen! |
| b) | Berechnen Sie die Abszisse des Punktes P, der auf der Strecke AB liegt und für den PB = PS gilt! |
| c) | Die Parallele zur Seite AB durch den Punkt schneidet die Seite AD im Punkt T. Weisen Sie nach, dass diese Parallele den Winkel BTC halbiert! |
| 7. | Gegeben sind Funktionen f durch y = f (x) = (x + 1) * dax (x ∈ R; a ∈ R, a > 0). |
| a) | Der Graph jeder dieser Funktionen schneidet die y-Achse im Punkt R und die x-Achse im Punkt Q. Ermitteln Sie die Koordinaten von R und Q! |
| b) | Die Graphen der Funktionen haben je eine lokalen Extrempunkt E (xE; f (xE)). Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes E (in Abhängigkeit vom Parameter a)! Weisen Sie die Art des Extremums nach! |
| c) | Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass die n-te Ableitung der Funktion f f(n) (x) = an-1 * eax * (ax + a + n) gilt! |
| 8. |  Die Skizze zeigen den Graph der Funktion f mity = f (x) = 2 Wurzel aus (x - 1) (x ∈ R; 1 ≤ x ≤ xQ) und die Geraden y = 4 und x = c (c ∈ R; 1 < c < xQ). Skizze (nicht maßstäblich)<brclear="all"> |
| a) | Berechnen Sie die Abszisse xQ des Punktes Q! |
| b) | Berechnen Sie für den Fall c = 3 die Inhalte der beiden gekennzeichneten Flächen! |
| c) | Unter den Geraden x = c gibt es genau eine, für die die Summe der Inhalte der gekennzeichneten Flächen minimal wird. Berechnen Sie c für diesen Fall! Geben Sie die minimale Summe an! (Auf den Nachweis des Minimums wird bei dieser Aufgabe verzichtet.) |