Pflichtaufgaben
(Vektoren fett und kursiv; 
: Winkel)
| 1. | Bei einer Übung der NVA wird von einer im Koordinatenursprung 0 (0; 0; 0) befindlichen Radarstation ein Flugzeug nacheinander in den Punkten P1 (-5; 50; 4) und P2 (15; 30; 3) geortet. Die Bahn des Flugzeuges verläuft geradlinig. Zur Bekämpfung eines Erdziels wird vom Flugzeug aus im Punkt P2 eine Luft-Boden-Rakete abgeschossen, die sich auf einer geradlinigen Bahn mit dem Richtungsvektor a (4; -4; -2) bewegt. (Koordinateneinheit: 1 km) |
| a) | Stellen Sie je eine Parametergleichung für die Bahn des Flugzeuges und die Bahn der Rakete auf! |
| b) | Berechnen Sie die Größe des Winkels zwischen diesen beiden Bahnen! |
| c) | Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P3 (x3; y3; 0), in dem die Rakete das Erdziel erreicht! |
| d) | Die Rakete fliegt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 1,5 km*s-1. Berechnen Sie die Flugdauer für die Strecke P2P3! |
| 2. | Eine Zahlenfolge (an) ist gegeben durch an = 12 / ((n+3) (n+4)); (n>0). |
| a) | Geben Sie die Glieder a1, a2 und a3 dieser Folge an! |
| b) | Berechnen Sie die Glieder s1, s2 und s3 der zugehörigen Partialsummenfolge (sn)! |
| c) | Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n größer/gleich 1 gilt: sn = 3n/(n+4)! |
| d) | Ermitteln Sie den Grenzwert g der Partialsummenfolge (sn)! |
| 3. | Gegeben sind die Funktionen f und g durch y = f (x) = 2√x (x ∈ R; x ≥ 0) und y = g (x) = 2x - 4 (x< ∈ R). |
| a) | Die Graphen der Funktionen f und g schneiden einander in genau einem Punkt S. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes S! |
| b) | Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen f und g im Intervall 0 ≤ x ≤ 5! |
| c) | Die Graphen der Funktionen f und g und die y-Achse begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen Sie denn Inhalt dieser Fläche! |
| d) |
Es gibt eine Tangente t an den Graph der Funktion f, die parallel zum Graph der Funktion g verläuft. |
| 4. |
Skizze nicht maßstäblich. |
| a) | Berechnen Sie die Kosten K1 für den Fall, dass die Leitung längs der Straßen von A über C nach B verlegt wird! |
| b) | Berechnen Sie die Kosten K2 für den Fall, dass die Leitung im Gelände geradlinig von A nach B verlegt wird! |
| c) | Die Kosten können dadurch gesenkt werden, dass die Versorgungsleitung von A längs der Straße bis zu einem Punkt D und von D im Gelände geradlinig von B verlegt wird (siehe Skizze!). Berechnen Sie die Länge x der Strecke DC für den Fall, dass die Kosten minimal werden! Wie hoch sind diese Kosten? (Hinweis: Auf dem Nachweis des Minimums wird bei dieser Aufgabe verzichtet.) |
Von einem Betrieb A soll nach einem Betriebsteil B eine Versorgungsleitung gelegt werden. A und B liegen an zwei geradlinig verlaufenden Straßen, die einander im Punkt C rechtwinklig schneiden (siehe Skizze!).
| 5. | Kurzaufgaben |
| a) | Ein Kreis ist gegeben durch die Gleichung x2 + y2 - 6x + 8y - 11 = 0. Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M und den Radius r des Kreises! |
| b) | Berechnen Sie die Anzahl aller Permutationen der Elemente a, b, c, d, e! Wie viele dieser Permutationen beginnen mit dem Element b? |
| c) | Berechnen Sie  ! |
Wahlaufgaben
(Von den folgenden Aufgaben brauchen Sie nur eine Aufgabe zu lösen.)
| 6. |
Skizze (nicht maßstäblich) |
| a) | Berechnen Sie die Länge der Seiten OD und BC! |
| b) | Weisen Sie nach, dass die Diagonale OC senkrecht auf der Seite BC steht! |
| c) | Weisen Sie nach, dass die Diagonale OC den Winkel α = BOD halbiert! |
| d) | Berechnen Sie den Parameter a für den Fall, dass das Trapez den Flächeninhalt A = 9√3 hat! |
Gegeben sind Trapeze mit den Eckpunkten
| 7. | Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = 10e-x (x ∈ R; 0 ≤ x ≤ 4). |
| a) | Ermitteln Sie die Funktionswerte f (0), f (2) und f (4), und skizzieren Sie den Graph der Funktion f! |
| b) | P (x; f (x)) sei ein Punkt des Graphen von f im Intervall 0 ≤ x ≤ 4. Fällt man von P die Lote auf die Koordinatenachsen, so entsteht ein Rechteck mit den Seiten x und f (x). Der Flächeninhalt dieses Rechtecks sei A. Geben Sie A als Funktion von x an! Berechnen Sie x für den Fall, dass A maximal wird! |
| c) | Gegeben sind Funktionen durch y = g (x) = e-ax (x ∈ R; a ∈ R; a > 0). Die Graphen dieser Funktionen gehen durch den Punkt P1 (0; 1). Ermitteln Sie eine Gleichung für die Tangenten, die in P1 an die Graphen der Funktionen gelegt werden können! |
| d) | Genau eine dieser Tangenten schneidet die x-Achse im Punkt P2 (3; 0). Berechnen Sie für diese Tangente den Wert des Parameters a! |
| 8. | Gegeben ist die Funktion f durch y = f (x) = x (2 - In x) (x ∈ R; 1 ≤ x ≤ 8). |
| a) | Berechnen Sie f (1) und f (8)! |
| b) | Die Funktion f hat genau eine Nullstelle. Berechnen Sie diese Nullstelle! |
| c) | Der Graph von f hat genau einen lokalen Extrempunkt. Berechnen Sie die Koordinaten dieses Extrempunktes! Weisen Sie die Art des Extremums nach! Skizzieren Sie den Graph der Funktion f! |
| d) | Weisen Sie nach, dass die Funktion F mit y = F(x) = (5/4 x2) - 0,5x2In x (x ∈ R; 1 ≤ x ≤ 8) eine Stammfunktion von f ist! |
| e) | Gegeben sind Funktionen durch y = g (x) = x (a - In x) (x ∈ R; a ∈ R; a ungleich 0). P1 (1; a) ist ein Punkt der Graphen dieser Funktionen. Ermitteln Sie den Parameter a für den Fall, dass die Tangente in P1 an den Graph der entsprechenden Funktion den Anstieg m = 1 hat! |