Pflichtaufgaben
(Vektoren fett und kursiv; 
: Winkel)
| 1. | Gegeben sind die Funktion f durch y = f(x) = (2x2 - 8) / (x2 + 2) (x ∈ R) |
| a) | Untersuchen Sie die Funktion f auf Nullstellen und Polstellen! |
| b) | Der Graph der Funktion f hat genau einen lokalen Extrempunkt. Berechnen Sie die Koordinaten dieses Extrempunktes! Weisen Sie die Art des Extremums nach! |
| c) | Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f im Unendlichen! |
| d) | Skizzieren Sie den Graph der Funktion f im Intervall -6 ≤ x ≤ 6 ! |
| 2. | In einem räumlichen Koordinatensystem {0; i; j; k} sind die Punkte A (5; 1; -6), B(1; 3; -2) und C (1; -2; -4) gegeben. |
| a) | Berechnen Sie den Winkel α = BCA! |
| b) | Stellen Sie eine Gleichung für die Gerade g auf, die durch die Punkte A und B geht! |
| c) | In der yz-Ebene existiert genau ein Punkt P, für den gilt: CP || AB . Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P! |
| 3. | Eine Zahlenfolge (an) ist gegeben durch an = n (3n + 1) (n ≥ 1). |
| a) | Geben Sie die Glieder a1, a2 und a3 dieser Folge an! |
| b) | Begründen Sie, dass die Folge (an) keine arithmetische Zahlenfolge ist! |
| c) | Berechnen Sie die Glieder s1, s2 und s3 der zugehörigen Partialsummenfolge (sn)! |
| d) | Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n ≥ 1 gilt: sn = n (n + 1)2. |
| 4. |
Berechnen Sie den Grundkreisradius r des Zylinders für den Fall, dass möglichst wenig Blech verbraucht wird! |
Ein Silo soll die Form eines Zylinders mit aufgesetzter Halbkugel erhalten (siehe Skizze!).
| 5. | Kurzaufgaben |
| a) | Gegeben sind die Vektoren a = (1, c, 2) und b = (c+4, -1, -2) Berechnen Sie das Skalarprodukt a * b ! Ermitteln Sie den Parameter c für den Fall, dass die Vektoren a und b den gleichen Betrag haben! |
| b) | Berechnen Sie  ! |
| c) | Eine Handballmannschaft besteht aus zehn Feldspielern und zwei Torwarten. Gleichzeitig spielen davon jeweils sechs Feldspieler und ein Torwart - sie bilden eine Formation. Der Regel entsprechend dürfen die Torwarte nicht als Feldspieler und die Feldspieler nicht als Torwart eingesetzt werden. Wie viele verschiedene Formationen sind damit möglich? (Die Spielpositionen der Feldspieler werden dabei nicht unterschieden.) |
Wahlaufgaben
(Von den folgenden Aufgaben brauchen Sie nur eine Aufgabe zu lösen.)
| 6. | Gegeben ist die Funktion f durch y = f (x) = 5x * e-0,5x (x ∈ R; x ≥ 0). |
| a) | Berechnen Sie die lokale Extremstelle xE von f und f(xE)! |
| b) | Berechnen Sie f(0) und f(1) ! Skizzieren Sie den Graph von f im Intervall 0 ≤ x ≤ xE ! |
| c) | Weisen Sie nach, dass die Funktion F mit F(x) = -10(x + 2) * e-0,5x (x ∈ R; x ≥ 0) eine Stammfunktion der Funktion f ist! |
| d) | Berechnen Sie  ! |
| 7. | Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = 5/2 - √(x + 1/4) (x ∈ R; -1/4 ≤ x ≤ 7) und die Gerade g durch y = - 1/3 x + 2 . |
| a) | Die Gerade g schneidet den Graph von f in den Punkten S1 und S2. Berechnen Sie die Koordinaten von S1 und S2 ! |
| b) | Berechnen Sie f(-1/4) und f(2) ! Skizzieren Sie den Graph von f ! Zeichnen Sie die Gerade g ein ! |
| c) | Gegeben ist eine zweite Gerade h durch y = x . Berechnen Sie den Winkel zwischen den Geraden g und h ! |
| d) | Auf der Geraden y = x liegt ein Punkt Q(xQ; yQ) mit xQ > 0, für den der S1QS2 = 90° ist. Berechnen Sie die Koordinaten von Q ! |
| e) | Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks S1S2Q ! |
| 8. | Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = 1 + cos (2x - π/2) (x ∈ R; 0 ≤ x ≤ π) . |
| a) | Berechnen Sie die Nullstelle der Funktion f ! |
| b) | Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen der Funktion f ! Untersuchen Sie die Art der Extrema ! |
| c) | Skizzieren Sie Graph der Funktion f im Intervall 0 ≤ x ≤ π ! |
| d) | Der Graph der Funktion f und die Koordinatenachsen begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche ! |
| e) | Es gibt genau zwei Tangenten an den Graph von f mit dem Anstieg m = -1 . Berechnen Sie die Abszissen der Berührungspunkte dieser Tangenten ! |