Pflichtaufgaben
(Vektoren fett und kursiv; 
: Winkel)
| 1. | In einem rechtwinkligen Koordinatensystem ist der Kreis k gegeben. Sein Mittelpunkt liegt im Koordinatenursprung, sein Radius beträgt 2√5 Längeneinheiten. |
| a) | Zeichnen Sie den Kreis k! Geben Sie eine Gleichung des Kreises k an! |
| b) | A (x1; 4) und B (x1; -4), x1 > 0, sind Punkte des Kreises k. Ermitteln Sie eine Gleichung der im Punkt A an den Kreis k gelegten Tangente t! Zeichnen Sie die Tangente t ein! |
| c) | Zeichnen Sie durch den Punkt B die Parallele g zur Tangente t! Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an! |
| d) | Die Gerade g schneidet den Kreis k in den Punkten B und C. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes C! |
| 2: | Die Gleichung einer Funktion f sei y = f(x) = (2x2 - 8) / x2 |
| a) | Ermitteln Sie Nullstellen und Polstelle der Funktion f! |
| b) | Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f im Unendlichen! |
| c) | Weisen Sie nach, dass die Funktion f keine lokalen Extrema hat! |
| d) | Skizzieren Sie das Bild (den Graph) der Funktion f im Intervall -5 ≤ x ≤ +5! |
| e) | Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Bild (Graph) der Funktion f, von der x-Achse und den Geraden x = 4 und x = 5 vollständig begrenzt wird! |
| 3. | Eine Zahlenfolge (an) ist gegeben durch an = 1 / (2n(n+1)) (n >0). |
| a) | Berechnen Sie die Glieder a1, a2 und a3 dieser Zahlenfolge! |
| b) | Weisen Sie nach, dass die Folge (an) monoton fallend ist! |
| c) | Berechnen Sie die Glieder s1, s2 und s3 der zugehörigen Partialsummenfolge (sn)! |
| d) |
Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n ≥ 1 gilt: |
| 4. |  Bei einer Untersuchung von Molekülstrukturen werden Punktmodelle betrachtet. Ein solches Punktmodell sei durch die Eckpunkte O, A, B, C, D einer geraden Pyramide mit der quadratischen Grundfläche OABC und der Spitze D gegeben (siehe Skizze!). Pyramidenhöhe und jede Seite der quadratischen Grundfläche haben die gleiche Länge von je 4 Längeneinheiten.
Skizze nicht maßstäblich! |
| a) | Geben Sie die Koordinaten der Punkte A, B, C, D an! |
| b) | Berechnen Sie die Entfernung OD! |
| c) | Auf der Pyramidenhöhe ED existiert ein Punkt P (2; 2; zp), für den gilt: PO = PD. Berechnen Sie zp! |
| d) | Berechnen Sie den Winkel φ = OPD! |
| 5. | Kurzaufgaben |
| a) | Berechnen Sie den Binomialkoeffizienten  ! |
| b) | Gegeben ist die Funktion f durch y = f (x) = In (sin x) (x ∈ R; 0 < x < π). Berechnen Sie f'(π/2)! |
| c) | Berechnen Sie ∫(cos 3x)dx! |
Wahlaufgaben
(Von den folgenden Aufgaben brauchen Sie nur eine Aufgabe zu lösen.)
| 6. | Gegeben ist die Funktion f durch y = f (x) = cos2x - 8sin x - 1 (x ∈ R; 0 ≤ x ≤ π). |
| a) | Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f! |
| b) | Berechnen Sie die Koordinaten des lokalen Extrempunktes des Bildes (Graphen) der Funktion f! Untersuchen Sie die Art des Extremums! |
| c) | Berechnen Sie f (π/4) und f (0,75π! Skizzieren Sie das Bild den Graph) der Funktion f! |
| d) | Gegeben seien Funktionen g durch y = g (x) = a*(cos2x - 8 sin x - 1) (x ∈ R; 0 ≤ x ≤ π; a ∈ R; a ≠ 0). Berechnen Sie den Wert des Parameters a für den Fall, dass die im Punkt P0 (π/6; y0) an das Bild (den Graph) der Funktion g gelegte Tangente den Anstieg m = √3 hat! |
| 7. | Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = 4 / (2x -3) (x ∈ R; x > 1,5). |
| a) | Zeichnen Sie das Bild (den Graph) der Funktion f im Intervall 2 ≤ x ≤ 6! |
| b) | Ermitteln Sie alle x, für die f(x)<1 ist! |
| c) | Die Tangente im Punkt P0 (x0; y0) an das Bild (den Graph) von f hat den Anstieg m = -2. Berechnen Sie die Koordinaten von P0! Geben Sie eine Gleichung dieser Tangente an! |
| Das Bild (der Graph) der Funktion f, die x-Achse sowie die Geraden x = 2 und x = 6 begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche! |
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| Durch eine Gerade x = a (a ∈ R; 2 < a < 6) wird diese Fläche in zwei inhaltsgleiche Teilflächen zerlegt. Berechnen Sie a! |
| 8. |  In der nebenstehenden Skizze sind die Bewegungen zweier Schiffe P und Q bezogen auf ein Koordinatensystem (Koordinateneinheit: 1 km) dargestellt. Die Schiffe P und Q befinden sich anfangs (t0 = 0) in den Punkten P0 (0; 0) bzw. Q0 (0; -50) (siehe Skizze). Das Schiff P fährt mit der konstanten Geschwindigkeit 15 km * h-1 in Richtung Osten, das Schiff Q mit der konstanten Geschwindigkeit 30 km * h-1 in Richtung Norden. Nach t Stunden befinden sich folglich das Schiff P im Punkt P(15 t; 0) und das Schiff Q im Punkt Q(0; 30 t - 50). |
| a) | Geben Sie die Koordinaten der Punkte P1 und Q1 an, in denen sich die Schiffe nach einer Stunden (t1 = 1) befinden! Ihre Entfernung voneinander beträgt dann s1 Kilometer. Berechnen Sie s1 = P1Q1! |
| b) | Wie groß ist die Entfernung der Schiffe voneinander, wenn sich das Schiff Q im Punkt P0 (0; 0) befindet? |
| c) | Nach t Stunden sind die Schiffe s Kilometer voneinander entfernt. Geben Sie s=PtQt als Funktion von t an! |
| d) | Für welches t haben die Schiffe P und Q die kürzeste Entfernung voneinander? Berechnen Sie diese minimale Entfernung i km! (Hinweis auf den Nachweis des Minimums wird in dieser Aufgabe verzichtet.) |